loj6089(背包DP)

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题目链接

https://loj.ac/problem/6089

题解

这个题还是有点意思。。直接上生成函数

然后显然对于 $i(i+1)\ge n$ ，直接做完全背包

对于 $i\le \sqrt n$ ，直接可逆背包就可以了，复杂度 $O(n\sqrt n)$

然而对于 $i\ge\sqrt n$ ，直接做完全背包会T。。

这个其实就是数的划分问题，对于普通的数的划分，我们可以设 $d[i][j]$ 为选了 $i$ 个数的 $j$ 的划分方案数，然后可以选择全部加 $1$ 或者令开一段 $1$ ，有

这里因为体积都大于 $\sqrt n$ ，而且个数也小于 $\sqrt n$ ，所以每次加进 $\sqrt n+1$ 的物品，然后逐次+1即可。。复杂度降至 $O(n\sqrt n)$




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define succ(x) (1ll<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 100005
#define nm 2005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const double eps=1e-8;
const ll inf=23333333;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 



inline void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}
int n,m,_t;
ll d[2][NM],f[NM];

int main(){
    n=read();m=sqrt(n);
    d[0][0]=1;_t=0;f[0]=1;
    inc(i,1,m){
	_t^=1;mem(d[_t]);
	inc(j,i*(m+1),n)reduce(d[_t][j]=d[_t^1][j-m-1]+d[_t][j-i]-inf);
	inc(j,i,n)reduce(f[j]+=d[_t][j]-inf);
    }
    inc(i,1,m){
	inc(j,i,n)reduce(f[j]+=f[j-i]-inf);
	int k=i*(i+1);
	dec(j,n,k)reduce(f[j]-=f[j-k]);
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}