jsk41413(指数型生成函数)

题目链接

https://nanti.jisuanke.com/t/41413

题意

给定 $n$ 和 $m$ ,给长度为 $n$ 的序列 $A$ 填数,要求偶数出现次数为偶数次,问填充方案数

题解

一道挺基础的题,然而生成函数没有掌握好,卡了好久。。

由于奇数没有限制,所以可以用 $e^x$ 表示,偶数在偶数项上才有系数,所以可以用 $\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ 表示

若 $m$ 为偶数,则奇数和偶数个数相等,令 $p=\frac{m}{2}$ ,则可以构造生成函数

直接暴力求就可以了。。

对于 $m$ 为偶数的情况,我们可以枚举最后一个数的放置情况在转化为上面的偶数考虑,即




代码

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/**
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*         ┃ >   < ┃
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*         ┃ ┃
*         ┗━┓ ┏━┛
*          ┃ ┃ Code is far away from bug with the animal protecting          
*          ┃ ┃ 神兽保佑,代码无bug
*          ┃ ┃           
*          ┃ ┃       
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*           ┗┻┛ ┗┻┛
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 200005
#define nm 150005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+7;
ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*x;
}


ll n,m,ans;
ll p[NM],inv[NM],invp[NM];
inline void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}
inline ll qpow(ll x,ll t){
ll s=1;
for(;t;t>>=1,x=x*x%inf)if(t&1)s=s*x%inf;
return s;
}


int main(){
n=2e5;p[0]=p[1]=inv[1]=invp[0]=invp[1]=1;
inc(i,2,n)p[i]=p[i-1]*i%inf,inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf,invp[i]=invp[i-1]*inv[i]%inf;
int _=read();while(_--){
n=read();m=read();
ans=0;
if(m%2==0){
m>>=1;
inc(i,0,m)reduce(ans+=p[m]*invp[i]%inf*invp[m-i]%inf*qpow(i<<1,n)%inf-inf);
ans=ans*qpow(inf+1>>1,m)%inf;
}else{
m>>=1;
inc(i,0,m)reduce(ans+=p[m]*invp[i]%inf*invp[m-i]%inf*qpow(i<<1|1,n)%inf-inf);
ans=ans*qpow(inf+1>>1,m)%inf;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}