now888J(容斥+生成函数)

|

题目链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/888/J?&headNav=www

题意

给定 $L$ 和 $d$ ，要从 $0$ 走到 $L$ ，要求每次走的步长不小于 $d$ ，再给定 $m$ 个限制，要求在 $t_i$ 时刻不能在 $p_i$ 位置上，在这些限制条件下从 $0$ 走到 $L$ 的方案数

题解

如果没有限制的话，我们可以预处理 $f[i]$ 表示从 $0$ 走到 $i$ 的方案数，那么有 $f[i]=\sum_{j=1}^{i-d}f[j]$

然后考虑 $m$ 个限制，利用容斥就可以了，不经过不合法的点到 $i$ 的方案数，设为 $d[i]$ ，那么 $d[i]=count(S,i)-\sum_jd[j]*count(j,i)$

其中 $count(j,i)$ 为从 $j$ 到 $i$ 的方案数，这个在场上利用生成函数解决的，设 $G(x)=\frac{x^d}{1-x}$ ，那么

然后就可以转移了。。

然后我们就可以枚举不合法方案中第一个经过的不合法的点，然后把他们减去就可以了，即减去 $d[i]*f[n-p_i]$




代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
/**
 *　　　　　　  　　┏┓　　 　┏┓
 * 　　　　　  　　┏┛┗━━━━━━━┛┗━━━┓
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃ 　
 * 　　　　　  　　┃　　　━　　 　┃
 * 　　　　　  　　┃　＞　　　＜　┃
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃
 * 　　　　　  　　┃...　⌒　... 　┃
 * 　　　　　　  　┃              ┃
 * 　　　　　　  　┗━┓          ┏━┛
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃  　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┗━━━┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┣┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┏┛
 * 　　　　　　　　　┗┓┓┏━━━━━━━━┳┓┏┛
 * 　　　　　　　　　　┃┫┫       ┃┫┫
 * 　　　　　　　　　　┗┻┛       ┗┻┛
 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 3005
#define nm 20000005
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 
 


struct P{
    int x,y;
    bool operator<(const P&o)const{return x<o.x;}
}a[NM];
int L,_d,m;
ll d[NM],ans,f[nm>>1];
int p[nm],invp[nm],inv[nm];

inline ll count(int n,int m){
    if(1ll*n*_d>m)return 0;
    return p[n+m-n*_d-1]*invp[n-1]%inf*invp[m-n*_d]%inf;
}


int main(){
    L=read();_d=read();m=read();
    p[1]=inv[1]=p[0]=invp[0]=invp[1]=1;
    inc(i,2,L<<1)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf,invp[i]=1ll*invp[i-1]*inv[i]%inf,p[i]=1ll*p[i-1]*i%inf;
    inc(i,1,m)a[i].x=read(),a[i].y=read();
    sort(a+1,a+1+m);
    inc(i,1,m)if(1ll*a[i].x*_d<=a[i].y){
	d[i]=count(a[i].x,a[i].y);
	inc(j,1,m)if(a[i].x>a[j].x&&a[i].y>a[j].y){
	    d[i]=(d[i]+inf-d[j]*count(a[i].x-a[j].x,a[i].y-a[j].y)%inf)%inf;
	}
    }
    f[0]=1;
    inc(i,1,L){
	if(i>=_d)f[i]=f[i-_d];
	f[i]+=f[i-1];f[i]%=inf;
    }
    dec(i,L,1)f[i]+=inf-f[i-1],f[i]%=inf;
    ans=f[L];
    inc(i,1,m)ans+=inf-d[i]*f[L-a[i].y]%inf,ans%=inf;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}