now884E(子集反演/容斥)

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题目链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/884/E

题意

给定 $n$ 和 $a$ ，求长度为 $n$ 由三的倍数构成的序列，使得其或和为 $a$

$n\le 10^{18},a\le 10^{18}$

题解

首先不考虑数据范围的话很容易想到做 $FMT$ 后直接 $n$ 次方，然后再做一次 $IFMT$ 就可以了。。

然而数据范围太大，但是大体思路没错，需要细化细节来加速计算

首先是

为了保证 $i\subset S$ ， $i$ 的位只能在 $S$ 的位上选取，考虑每个位的情况，他余 $3$ 只能是 $1$ 或 $2$ ，那么只要统计出这些位的个数，然后做个小模背包 $DP$ 就完事了。。

然后设答案为 $F(S)$ ，那么

然而这个也需要 $O(a)$ 。。

考虑到 $G(T)$ 的计算由位的个数决定，那么枚举这些位，有

然后就可以做到 $O(log^2a(logn+loga))$




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) ((1ll)<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 100005
#define nm 400005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}



ll qpow(ll x,ll t){
    ll s=1;
    for(;t;t>>=1,x=x*x%inf)if(t&1)s=s*x%inf;
    return s;
}

ll n,m,ans,d[6],inv[NM],p[NM],invp[NM];
int v[5],_x,_y;

ll binom(int n,int m){return p[n]*invp[m]%inf*invp[n-m]%inf;}

ll f(int x,int y){
    ll s=0;
    mem(d);
    d[0]=1;
    inc(k,1,x){
	dec(j,3,1)d[j]+=d[j-1],d[j]%=inf;
	d[0]+=d[3];d[3]=0;d[0]%=inf;
    }
    inc(k,1,y){
	dec(j,5,2)d[j]+=d[j-2],d[j]%=inf;
	d[0]+=d[3];d[3]=0;d[0]%=inf;
	d[1]+=d[4];d[4]=0;d[1]%=inf;
    }
    return qpow(d[0],n);
}


int main(){
    n=100;p[0]=p[1]=inv[1]=invp[1]=invp[0]=1;
    inc(i,2,n)p[i]=p[i-1]*i%inf,inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf,invp[i]=invp[i-1]*inv[i]%inf;
    int _=read();while(_--){
	n=read();m=read();_x=_y=0;
	inc(i,0,61)if((succ(i)|m)==m){
	    if(succ(i)%3==1)_x++;
	    else _y++;
	}
	ans=0;
	inc(i,0,_x)inc(j,0,_y){
	    if((_x-i+_y-j)%2==0)
		ans+=f(i,j)*binom(_x,i)%inf*binom(_y,j)%inf;
	    else ans+=inf-f(i,j)*binom(_x,i)%inf*binom(_y,j)%inf;
	    ans%=inf;
	}
	printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}