now146H(FWT)

题目链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/146/H

题意

给定 $n$ 堆石子,每堆石子个数为 $a_i$ ,问最多取多少堆石子使得先手败胜

题解

一道挺经典的题?

设所有数的异或和为 $s$ ,那么这个题可以转化为最少取多少个数使得异或和为 $s$

这个看起来很不可做,其实结合线性基的知识仔细想想由这些数构成的线性空间其基底最多只有 $logn$ 个,所以直接暴力枚举就可以了。。

由于数据范围比较大,所以需要用 $FWT$ ,然而 $FWT$ 会产生自身异或的情况,所以我们需要把这种情况去掉

设 $A_m$ 为 $m$ 个不相同的数异或的结果,那么我们只需要去掉 $AABCDE…$ 这种情况即可,此时 $A$ 有 $n-(m-2)$ 中取法,所以有

由于 $FWT$ 是线性变换,上式也在变换之后成立,所以直接只做一次 $FWT$ 即可,判断的时候由于只关心 $a[s]$ 是否为 $0$ ,所以针对这一项用 $O(n)$ 暴力求得,因此总复杂度从 $O(nlog^2n)$ 降到 $O(nlogn)$

upd

其实根本就不用考虑重复的情况啊,有重复说明前面早就有解了,直接一个一个卷上去判断就完事了啊。。

好~~菜~~啊~~




代码

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*          ┃ ┃ Code is far away from bug with the animal protecting          
*          ┃ ┃ 神兽保佑,代码无bug
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*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 524288
#define nm 200005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=99993601;
ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*x;
}


inline void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}


int n,ans,m,_t,s,cnt[NM];
ll a[NM],f[NM];

void fwt(ll*a){
for(int k=1;k<n;k<<=1)
for(int i=0;i<n;i+=k<<1)
for(int j=0;j<k;j++){
ll x=a[i+j],y=a[i+j+k];
reduce(a[i+j]=x+y-inf);reduce(a[i+j+k]=x-y);
}
}

int main(){
m=read();inc(i,1,m)_t=read(),f[_t]++,s^=_t;
n=1<<19;
inc(i,0,n-1)cnt[i]=(__builtin_popcount(i&s)&1)?-1:1;
a[0]=1;
fwt(f);fwt(a);
do{
ll s=0;
inc(i,0,n-1)s+=a[i]*cnt[i],s%=inf;
if(s)break;
ans++;
inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*f[i]%inf;
}while(ans<m);
printf("%d\n",m-ans);
return 0;
}