luogu5050(多项式多点求值)

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题意

给定一个 $n-1$ 次多项式 $F(x)$ 和 $m$ 项序列 ${a_i}$ ，对 $\forall i\in[1,m]$，求 $F(a_i)$

题解

主要是利用分治的思想将求值的规模逐渐减少。。

若给定多项式 $F(x)$ ，要在 $X={x_0,x_1..x_n}$ 上进行多点求值

那么可以将 $X$ 分成两半， $X1={x_0,x_1..x{\lfloor\frac{n}{2} \rfloor} }$ 和 $X2={x{\lfloor\frac{n}{2} \rfloor+1}…x_n}$

另 $A(x)=\prod{x_i\in X} (x-x_i)$ ，$A_1(x)=\prod{xi\in X_1} (x-x_i)$ ，$A_2(x)=\prod{x_i\in X_2} (x-x_i)$

那么可以构造 $F_1(x)=F(x)\bmod{A_1(x)}$ 和 $F_2(x)=F(x)\bmod{A_2(x)}$

设 $F(x)=Q(x)A_1(x)+F_1(x)$

那么 $\forall x_i\in X_1$ ，$F(x_i)=Q(x_i)A_1(x_i)+F_1(x_i)=F_1(x_i)$

同理 $\forall x_i\in X_2$ ，$F(x_i)=F_2(x_i)$

这样问题就简化成了在 $X_1$ 上对 $F_1(x)$ 进行多点求值和在 $X_2$ 上对 $F_2(x)$ 进行多点求值

对 $A(x)$ 同样可以利用分治预处理出来，两者的复杂度均为 $O(nlog^2n)$ ，但是常数巨大。。




代码

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 70000
#define nm 400005
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}


int n,m;
ll a[NM],b[NM];

inline void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}

inline ll qpow(ll base, ll p) {
        static ll res;
        for (res = 1; p; p >>= 1, base =  (base) * base % inf) if (p & 1) res =  (res) * base % inf;
        return res;
    }



//ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}
namespace Poly{
    int lim,bit,rev[NM];
    ll invn,W[NM],w[NM];
    inline void clear(ll*a,ll*b){if(a<b)memset(a,0,sizeof(ll)*(b-a));}
    inline void init(int m){
	for(lim=1,bit=0;lim<m;lim<<=1)bit++;invn=qpow(lim,inf-2);
	inc(i,0,lim-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	ll t=qpow(3,(inf-1)/lim);W[0]=1;
	inc(i,1,lim)W[i]=W[i-1]*t%inf;
    }
    inline void fft(ll*a,int f=0){
	int n=lim;
	inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])std::swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(register int k=1;k<n;k<<=1){
	    int t=n/k>>1;
	    for(register int i=0,j=0;i<k;i++,j+=t)w[i]=W[f?n-j:j];
	    for(register int i=0;i<n;i+=k<<1)
		for(register int j=0;j<k;j++){
		    ll x=a[i+j],y=w[j]*a[i+j+k]%inf;
		    reduce(a[i+j]=x+y-inf);reduce(a[i+j+k]=x-y);
		}
	}
	if(f)inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
    }
    ll _a[NM];
    inline void inv(ll*b,ll*a,int m){
	if(m==1){b[0]=qpow(a[0],inf-2);return;}
	inv(b,a,m+1>>1);init(m<<1);
	std::copy(a,a+m,_a);clear(_a+m,_a+lim);clear(b+m,b+lim);
	fft(b);fft(_a);
	inc(i,0,lim-1)b[i]=b[i]*(2-_a[i]*b[i]%inf+inf)%inf;
	fft(b,1);clear(b+m,b+lim);
    }
    ll _b[NM];
    inline void div(ll*c,ll*d,ll*a,ll*b,int n,int m){
	std::reverse_copy(a,a+n,c);std::reverse_copy(b,b+m,d);
	inv(_b,d,n-m+1);std::reverse(d,d+m);
	init(n-m+1<<1);clear(c+n-m+1,c+lim);
	fft(_b);fft(c);
	inc(i,0,lim-1)c[i]=c[i]*_b[i]%inf;
	fft(c,1);std::reverse(c,c+n-m+1);clear(c+n-m+1,c+lim);
	init(n);std::copy(c,c+n-m+1,_b);clear(_b+n-m+1,_b+lim);
	m--;clear(d+m,d+lim);fft(_b);fft(d);
	inc(i,0,lim-1)d[i]=d[i]*_b[i]%inf;
	fft(d,1);clear(d+m,d+lim);clear(_b,_b+lim);
	inc(i,0,m-1)reduce(d[i]=a[i]-d[i]);
    }
    std::vector<ll>p[NM<<1],q[NM<<1];ll _c[NM];
    inline void build(int i,int x,int y){
	if(x==y){p[i].push_back(b[x]);p[i].push_back(1);return;}
	build(i<<1,x,mid);build(i<<1|1,mid+1,y);
	int n=p[i<<1].size(),m=p[i<<1|1].size();init(n+m-1);
	std::copy(p[i<<1].begin(),p[i<<1].end(),_a);clear(_a+n,_a+lim);
	std::copy(p[i<<1|1].begin(),p[i<<1|1].end(),_b);clear(_b+m,_b+lim);
	fft(_a);fft(_b);
	inc(j,0,lim-1)_c[j]=_a[j]*_b[j]%inf;
	fft(_c,1);p[i].assign(_c,_c+n+m-1);
    }
    ll ans[NM],_d[NM],tmp[NM],ret[NM];
    inline void DIV(int x,int y){
	if(q[x].size()<p[y].size()){q[y]=q[x];return;}
	std::copy(q[x].begin(),q[x].end(),_c);std::copy(p[y].begin(),p[y].end(),_d);
	div(tmp,ret,_c,_d,q[x].size(),p[y].size());q[y].assign(ret,ret+p[y].size()-1);
	while(!q[y].back())q[y].pop_back();
    }
    inline void cal(int i,int x,int y){
	if(x==y){ans[x]=q[i][0];return;}
	DIV(i,i<<1);DIV(i,i<<1|1);
	cal(i<<1,x,mid);cal(i<<1|1,mid+1,y);
    }
}


int main(){
    n=read()+1;m=read();
    inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inc(i,1,m)reduce(b[i]=-read());
    Poly::build(1,1,m);
    Poly::q[0].assign(a,a+n);
    Poly::DIV(0,1);
    Poly::cal(1,1,m);
    inc(i,1,m)printf("%lld\n",Poly::ans[i]);
    return 0;
}