luogu4726(多项式指数函数)

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题意

给定一个多项式 $A(x)$ ，求 $B(x)$ ，满足 $B(x)\equiv e^{A(x)}\pmod{x^n}$

题解

多项式指数函数的含义

仍然对指数函数做麦克劳林展开，得到


两种做法：

方法一：牛顿迭代法

见http://blog.miskcoo.com/2015/06/polynomial-with-newton-method

主要思想和之前一样，均是从 $m$ 递推到 $2m$ ，这次给了一个更一般的形式的推导

已知函数 $G(x)$ ，求多项式 $f(x)\bmod{x^m}$ ，满足

当 $m=1$ 的时候是模方程的问题

当 $m>1$ ，假设求出了

然后考虑对 $G(F(x))$ 在 $f(x)$ 进行泰勒展开

当 $k>2$

由于 $F(x)$ 满足

所以

故

结合

化简得

将他代入各种多项式操作就可以得到我们之前得出的解法

对指数来说，我们应尽量避免，而此前已经得出对数的解法，所以直接取对数，得

令 $G(B(x))=\ln B(x)-A(x)$ ，得

当 $m=1$ 时，$B(x)=e^{a_0}$ ，而由于 $e$ 在模意义下并不能给出定义，所以除指数为 $0$ 外其他数都不能给出定义，因此可以看出多项式指数的存在性依赖于 $a_0$ 是否为 $0$

当 $m>2$ ，

直接带入牛顿迭代，得

复杂度为 $T(m)=T(\frac{m}{2})+O(mlogm)=O(mlogm)$

不造都套上多少层这样的递归式了，每次其实常数都在翻倍，然后这个的常数据说能到达几十。。甚至比下面的分治 $FFT$ 的 $O(mlog^2m)$ 要大，可是窝写出来的分治 $FFT$ 好像更慢qwq


方法二：分治FFT

这个的想法比较简单，对两边求导

显然 $C=1$ ，然后这就可以用分治 $FFT$ 做了，窝的写法貌似没别人优秀，所以跑得比上面的要慢。。


最终还是选择牛顿迭代，最关键的原因是好写啊。。。




代码

牛顿迭代法

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mid (x+y>>1)
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 300005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}


int n;
ll a[NM],b[NM],_a[NM],_b[NM],_c[NM],inv[NM];

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}

struct FFT{
    int n,rev[NM],bit;
    ll b[NM],invn;
    void fft(ll*a,int f){
	inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
	    ll t=qpow(3,(inf-1)/k/2);if(f==-1)t=qpow(t,inf-2);
	    for(int i=0;i<n;i+=k<<1){
		ll w=1;
		for(int j=0;j<k;j++,w=w*t%inf){
		    ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+k]%inf;
		    a[i+j]=(x+y)%inf;a[i+j+k]=(x-y+inf)%inf;
		}
	    }
	}
    }
    int plu(ll*a,ll*_b,int p,int m){
	inc(i,0,m-1)b[i]=_b[i];
	for(n=p+m+1,bit=0;succ(bit)<n;bit++);n=succ(bit);
	invn=qpow(n,inf-2);inc(i,p,n)a[i]=0;
	inc(i,1,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	fft(a,1);fft(b,1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]%inf;
	fft(a,-1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
	inc(i,0,n-1)b[i]=0;
	return m+p;
    }
}fft;

void pinv(ll*b,ll*a,int m){
    if(m==1){b[0]=qpow(a[0],inf-2);return;}
    pinv(b,a,m+1>>1);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=b[i];
    fft.plu(_b,a,m,m);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=-_b[i];_b[0]+=2;
    fft.plu(b,_b,m,m);
}

void pln(ll*b,ll*a,int m){
    pinv(b,a,m);
    inc(i,0,m-2)_a[i]=a[i+1]*(i+1)%inf;
    fft.plu(b,_a,m,m-1);
    dec(i,m-1,1)b[i]=b[i-1]*inv[i]%inf;b[0]=0;
}

void pexp(ll*b,ll*a,int m){
    if(m==1){b[0]=1;return;}
    pexp(b,a,m+1>>1);
    pln(_c,b,m);
    inc(i,0,m-1)_c[i]=a[i]-_c[i]
    _c[0]++;
    fft.plu(b,_c,m,m);
}

int main(){
    n=read();inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inv[1]=1;inc(i,2,n)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
    pexp(b,a,n);
    inc(i,0,n-1)printf("%lld%c",b[i]," \n"[i==n-1]);
    return 0;
}

分治 $FFT$

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mid (x+y>>1)
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 300005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}



int n;
ll a[NM],b[NM],_a[NM],inv[NM];

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}

struct FFT{
    int n,bit,rev[NM];
    ll b[NM],invn;
    void fft(ll*a,int f){
    inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int k=1;k<n;k<<=1){
        ll t=qpow(3,(inf-1)/k/2);if(f==-1)t=qpow(t,inf-2);
        for(int i=0;i<n;i+=k<<1){
        ll w=1;
        for(int j=0;j<k;j++,w=w*t%inf){
            ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+k]%inf;
            a[i+j]=(x+y)%inf;a[i+j+k]=(x-y+inf)%inf;
        }
        }
    }
    }
    int plu(ll*a,ll*_b,int p,int m){
    inc(i,0,m-1)b[i]=_b[i];
    for(n=p+m+1,bit=0;succ(bit)<n;bit++);n=succ(bit);
    invn=qpow(n,inf-2);
    inc(i,0,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    fft(a,1);fft(b,1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]%inf;
    fft(a,-1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
    inc(i,0,n-1)b[i]=0;
    return m+p;
    }
}fft;


void _cdq(ll*a,ll*b,int x,int y){
    if(x==y){if(x)b[x]=b[x]*inv[x]%inf;else b[x]=1;return;}
    _cdq(a,b,x,mid);
    inc(i,0,y-x-1)_a[i]=a[i+1]*(i+1)%inf;
    int tot=fft.plu(_a,b+x,y-x,mid-x+1);
    inc(i,mid,y-1)b[i+1]+=_a[i-x],b[i]%=inf;
    inc(i,0,tot)_a[i]=0;
    _cdq(a,b,mid+1,y);
}

void pexp(ll*b,ll*a,int n){_cdq(a,b,0,n-1);}

int main(){
    n=read();inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inv[1]=1;inc(i,2,n)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
    pexp(b,a,n);
    inc(i,0,n-1)printf("%lld%c",b[i]," \n"[i==n-1]);
    return 0;
}