luogu4725(多项式对数)

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题意

给定多项式 $A(x)$ ，求多项式一个 $\bmod x^n$ 下的多项式 $B(x)$ ，使 $B(x)\equiv lnA(x)\pmod{x^n}$

题解

多项式的对数的含义要结合麦克劳林级数，对 $A(x)=\sum{i=1}^{\infin}a_ix^i$ ，有 $ln(1-A(x))=-\sum{i=1}^{\infty}\frac{(A(x))^i}{i!}$

所以对 $ln(A(x))$ 来说，$A(x)$ 需满足常数项为 $1$ ，否则不能做单独的对数运算

如果常数项不为 $1$ ，可以把常数项提出来，可是 $ln a_0$ 这个在模意义下是没有给出定义的 ，所以如果不能处理 $ln a_0$ ，那么该式便无意义

求解 $lnA(x)$ 的方法也很简单，求导之后可得

那么可求得 $B’(x)$ 进而积分 $\int B’(x)dx+C= B(x)+C$ ，由于 $B(0)=ln A(0)=ln 1=0$ ，所以 $C=0$ ，故直接求不定积分就可以得到答案。。




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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 300005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}



int n;
ll a[NM],b[NM],_a[NM],_b[NM],inv[NM];

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}

struct FFT{
    int n,bit,rev[NM];
    ll b[NM],invn;
    void fft(ll*a,int f){
	inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
	    ll t=qpow(3,(inf-1)/k/2);if(f==-1)t=qpow(t,inf-2);
	    for(int i=0;i<n;i+=k<<1){
		ll w=1;
		for(int j=0;j<k;j++,w=w*t%inf){
		    ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+k]%inf;
		    a[i+j]=(x+y)%inf;a[i+j+k]=(x-y+inf)%inf;
		}
	    }
	}
    }
    int plu(ll*a,ll*_b,int p,int m){
	inc(i,0,m)b[i]=_b[i];
	for(n=p+m+1,bit=0;succ(bit)<n;bit++);n=succ(bit);
	invn=qpow(n,inf-2);inc(i,p,n)a[i]=0;
	inc(i,1,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	fft(a,1);fft(b,1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]%inf;
	fft(a,-1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
	inc(i,0,n-1)b[i]=0;
	return m+p;
    }
}fft;

void pinv(ll*b,ll*a,int m){
    if(m==1){b[0]=qpow(a[0],inf-2);return;}
    pinv(b,a,m+1>>1);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=b[i];
    fft.plu(_b,a,m,m);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=-_b[i];_b[0]+=2;
    fft.plu(b,_b,m,m);
}

void pln(ll*b,ll*a,int n){
    pinv(b,a,n);
    inc(i,0,n-2)_a[i]=a[i+1]*(i+1)%inf;
    fft.plu(b,_a,n-1,n);
    dec(i,n-1,1)b[i]=b[i-1]*inv[i]%inf;b[0]=0;
}


int main(){
    n=read();inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inv[1]=1;inc(i,2,n)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
    pln(b,a,n);
    inc(i,0,n-1)printf("%lld%c",b[i]," \n"[i==n-1]);
    return 0;
}