luogu4512(多项式除法/取模)

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题意

类比平时的除法 $m=pn+q$

给定 $n$ 次多项式 $A(x)$ 和 $m$ 次多项式 $B(X)$ ，求 $C(x)$ 和 $D(X)$ ，满足 $A(x)=B(x)C(x)+D(x)$ ，其中 $C(X)$ 的次数为 $n-m$ ，$D(x)$ 的次数小于 $m$

题解

注：题目要用 $0$ 把 $D(x)$ 补成 $m-1$ 次多项式，实际求解中应将 $0$ 系数项去掉，不然会出事

先定义 $A^R(x)$ 为将 $A$ 系数翻转后的多项式，即 $(a0,a_1…a_n)\rightarrow(a_n,a{n-1}…a_0)$

那么如何表示 $A^R(x)$ 呢？可以知道 $A^R(x)=x^nA(\frac{1}{x})$ 和 $A(x)=x^nA^R(\frac{1}{x})$

所以

这里将 $D(x)$ 直接视作 $m-1$ 次多项式进行翻转

然后可以看到，翻转之后，如果将该方程对 $x^{n-m+1}$ 去模，那么$D^R(x)$ 就去掉了，而由于 $C^R(x)$ 是 $n-m$ 次多项式，因此此次去模对他没有影响，所以有

求解 $A^R(x)$ 的逆元即可得 $C^R(x)$ ，然后代进原方程得 $D(X)$

巧妙的构造。。




代码

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 300005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}



int n,m,_n,_m;
ll a[NM],b[NM],c[NM],d[NM],_b[NM],_c[NM];

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}

struct FFT{
    int n,rev[NM],bit;
    ll b[NM],invn;
    void fft(ll*a,int f){
	inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
	    ll t=qpow(3,(inf-1)/k/2);if(f==-1)t=qpow(t,inf-2);
	    for(int i=0;i<n;i+=k<<1){
		ll w=1;
		for(int j=0;j<k;j++,w=w*t%inf){
		    ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+k]%inf;
		    a[i+j]=(x+y)%inf;a[i+j+k]=(x-y+inf)%inf;
		}
	    }
	}
    }
    int plu(ll*a,ll*_b,int p,int m){
	inc(i,0,m-1)b[i]=_b[i];
	for(n=p+m+1,bit=0;succ(bit)<n;bit++);n=succ(bit);
	invn=qpow(n,inf-2);inc(i,p,n)a[i]=0;
	inc(i,1,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	fft(a,1);fft(b,1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]%inf;
	fft(a,-1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
	inc(i,0,n-1)b[i]=0;
	return m+p;
    }
}fft;


void inv(ll*b,ll*a,int m){
    if(m==1){b[0]=qpow(a[0],inf-2);return;}
    inv(b,a,m+1>>1);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=b[i];
    fft.plu(_b,a,m,m);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=-_b[i];
    _b[0]+=2;
    fft.plu(b,_b,m,m);
}

void div(ll*c,ll*d,ll*a,ll*b,int n,int m){
    reverse(a,a+n);reverse(b,b+m);
    inv(_c,b,n-m+1);
    inc(i,0,n-1)c[i]=a[i];
    fft.plu(c,_c,n,n-m+1);
    reverse(a,a+n);reverse(b,b+m);reverse(c,c+n-m+1);
    inc(i,0,m-1)d[i]=b[i];
    fft.plu(d,c,m,n-m+1);
    inc(i,0,m-1)d[i]=(a[i]-d[i]+inf)%inf;
}


int main(){
    n=read()+1;m=read()+1;
    inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inc(i,0,m-1)b[i]=read();
    div(c,d,a,b,n,m);
    _n=n-m+1;_m=m-1;
    inc(i,0,_n-1)printf("%lld%c",c[i]," \n"[i==_n-1]);
    inc(i,0,_m-1)printf("%lld%c",d[i]," \n"[i==_m-1]);
    return 0;
}