luogu4238(多项式逆元)

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题意

给定一个 $n-1$ 次多项式 $F(x)$ ，求 $n-1$ 次多项式 $G(x)$ ，满足 $F(x)G(x)\equiv 1\pmod{x^n}$

文章出处

http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse

题解

多项式逆元，即给定一个多项式 $A(x)$ ，要求 $B(X)$ ，满足

这个的求解思路如下，若 $m=1$ ，那么 $B(x)=a_0^{-1}$

否则，可以转化为求解

那么，两式相减，可得

然后就可以递归求解了

那么也可以看出，该多项式有没有逆元也是看 $a_0$ 的逆元存不存在的，这里所有多项式系数也是在模意义下的

乘法可以用 $FFT$ 算，复杂度为 $T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=O(nlogn)$




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 400005
#define nm 4005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}





ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}
struct FFT{
    int n,bit,rev[NM];
    ll b[NM],invn;
    void fft(ll*a,int f){
	inc(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
	    ll t=qpow(3,(inf-1)/k/2);if(f==-1)t=qpow(t,inf-2);
	    for(int i=0;i<n;i+=k<<1){
		ll w=1;
		for(int j=0;j<k;j++,w=w*t%inf){
		    ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+k]%inf;
		    a[i+j]=(x+y)%inf;a[i+j+k]=(x-y+inf)%inf;
		}
	    }
	}
    }
    int plu(ll*a,ll*_b,int p,int m){
	inc(i,0,m)b[i]=_b[i];
	for(n=p+m+1,bit=0;succ(bit)<n;bit++);n=succ(bit);
	invn=qpow(n,inf-2);
	inc(i,1,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	fft(a,1);fft(b,1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]%inf;
	fft(a,-1);inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
	inc(i,0,n-1)b[i]=0;
	return m+p;
    }
}fft;
int n;
ll a[NM],_b[NM],b[NM];

void inv(ll*b,ll*a,int m){
    if(m==1){
	b[0]=qpow(a[0],inf-2);
	return;
    }
    inv(b,a,(m+1)/2);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=b[i];
    fft.plu(_b,a,m,m);
    inc(i,0,m-1)_b[i]=-_b[i];
    _b[0]+=2;
    fft.plu(b,_b,m,m);
}

int main(){
    n=read();inc(i,0,n-1)a[i]=read();
    inv(b,a,n);
    inc(i,0,n-1)printf("%lld%c",b[i]," \n"[i==n-1]);
    return 0;
}