loj153(集合覆盖计数)

题目链接

https://loj.ac/problem/153

题解

挺经典的题。。

这个题可以借鉴上次做 FWT 的思想,设 $d[i][j]$ 为选 $i$ 个集合时集合并为 $j$ 的子集的方案数(有顺序)

那么 $d[1][j]$ 显然可以 FMT 求得

然后对于 $d[i][j]$ 考虑在 $i-1$ 的基础上再加一个元素,并去重

可以得到

然后将顺序去掉之后发现需要求

从组合意义上讲,就是在做子集变换之后从中选 $i$ 个集合。。

结论是窝原来绕了一大圈求了个组合数。。




代码

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/*
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*         ┃ >   < ┃
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*         ┃ ┃
*         ┗━┓ ┏━┛
*          ┃ ┃ Code is far away from bug with the animal protecting          
*          ┃ ┃ 神兽保佑,代码无bug
*          ┃ ┃           
*          ┃ ┃       
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*           ┗┻┛ ┗┻┛
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 140005
#define nm 4194304
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*x;
}


inline void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}
inline ll qpow(ll x,ll t){
ll s=1;
for(;t;t>>=1,x=x*x%inf)if(t&1)s=s*x%inf;
return s;
}
int n,m,p;
ll a[nm],inv[NM];

void fmt(ll*a){
for(int k=0;k<m;k++)
inc(i,0,n)if(i>>k&1)
reduce(a[i]+=a[i^succ(k)]-inf);
}
void ifmt(ll*a){
for(int k=0;k<m;k++)
inc(i,0,n)if(i>>k&1)
reduce(a[i]-=a[i^succ(k)]);
}


int main(){
m=read();n=read();p=read();
inv[1]=1;
inc(i,2,p)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
inc(i,1,n)a[read()]++;
n=succ(m)-1;
fmt(a);
inc(i,0,n){
ll t=a[i],cnt=a[i];
inc(k,2,p){
cnt=cnt*(t-k+1)%inf*inv[k]%inf;
reduce(a[i]+=cnt-inf);
}
}
ifmt(a);
printf("%lld\n",a[n]);
return 0;
}