jsk39276(思维题)

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题目链接

https://nanti.jisuanke.com/t/39276

题意

有两个数 $a$、$p$ ，用这两个数构造出数列 ${a^n\bmod{p}}$ ，给出这个序列的长度为 $n$ 的子序列，判断满足条件的 $a$、$p$ 是多解、一解还是无解，一解要输出 $a$、$p$

题解

有点奇葩的题，场上看了直接放弃。。

思路有点巧妙但并不难。。

设 $b$ 为给定的数列，由于

所以 $bi^2-b{i-1}b_{i+1}$ 必然是 $p$ 的倍数

对所有的 $bi^2-b{i-1}b_{i+1}$ 取 $gcd$ ，枚举其因子再判断就可以了。。

判断的时候要判断这 $n$ 个数的递推关系，还要求 $a$ 必须出现，所以要用 $BSGS$ 判断当前某个数是否为 $a$ 的幂次，所以复杂度为 $O(n+\sqrt p)$

那么总复杂度上界为 $O(n*\sqrt b_{max}+b)$

可是当 $n\le2$ 的时候这个方法并不奏效。。

$n=1$ 时一定为 $unsure$ ，而 $n=2$ 时目测也是 $unsure$ 不过对两个相等且大于 $1$ 的数这个情况是不存在的，需要特判。。

确实是比较坑的题。。




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mid (x+y>>1)
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 100005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}


int n,tot;
ll a[NM],cnt,inf,c[NM],ans1,ans2;

ll mul(ll a,ll b){
    __int128 t=a;
    t=t*b%inf;
    return (ll)t;
}

ll qpow(ll x,ll t){return t?mul(qpow(mul(x,x)%inf,t>>1),(t&1?x:1ll)):1ll;}

ll bsgs(ll a,ll b){
    map<ll,ll>v;int n=sqrt(inf)+1;
    ll inv=qpow(a,inf-2),t=qpow(a,n);
    for(int i=0;i<n;i++,b=mul(b,inv))if(!v.count(b))v[b]=i;
    ll k=1;
    for(int i=0;i<=n;i++,k=mul(k,t))if(v.count(k))return true;
    return false;
}

bool check(ll t){
    inf=t;
    cnt=mul(a[2],qpow(a[1],inf-2));
    inc(i,2,n)if(mul(a[i-1],cnt)!=a[i])return false;
    return bsgs(cnt,a[1]);
}


int main(){
    n=read();
    inc(i,1,n)a[i]=read();
    if(n==1)return 0*puts("unsure");
    if(n==2){
	if(a[1]==a[2]&&a[1]>1)return 0*puts("error");
	return 0*puts("unsure");
    }
    ll t=0;
    inc(i,1,n-2)t=__gcd(t,abs(sqr(a[i+1])-a[i]*a[i+2]));
    inc(i,1,n)cnt=max(cnt,a[i]);
    if(t==0){
	if(a[1]==a[2]){
	    puts(a[1]>1?"error":"unsure");
	}else puts("unsure");
	return 0;
    }
    for(ll i=2;i*i<=t;i++)if(t%i==0){
	while(t%i==0)t/=i;
	if(i>cnt)c[++tot]=i;
    }
    if(t>1)c[++tot]=t;
    inc(i,1,tot)if(check(c[i])){
	if(ans1&&ans2)return 0*puts("unsure");
	ans1=cnt;ans2=inf;
    }
    if(ans1&&ans2)printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
    else puts("error");
    return 0;
}