hdu6683(数论分块+杜教筛)

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题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6683

题意

给定序列 $1,2,…,n$ ，求该序列中子序列中为等比数列的个数

题解

先排除公比为 $1$ 的情况，发现是单点，直接特殊处理即可。。

然后对剩下的，考虑枚举其公比 $q$ 和项数 $k$ ，设 $q=\frac{a}{b}(gcd(a,b)=1)$ ，则数列的末项必须为 $Ca^k$ 的形式，则有 $\lfloor\frac{n}{a^{k-1}} \rfloor$ 个这样的数列

因此剩下的答案为

当 $k>4$ ，$a\le\sqrt[3]{n}$ ，可以直接暴力枚举

接下来只需要考虑 $k=3$ 的情况，即

然后对 $\lfloor\frac{n}{i^2} \rfloor$ 分块，当 $i<\sqrt[3]n$ 时，答案只有 $\sqrt[3]n$ 种，当 $i>\sqrt[3]n$ 时，$\frac{n}{i^2}<\sqrt[3]n$ 种，答案也只有 $\sqrt[3]n$ 种

对满足 $\frac{n}{i^2}=t$ 的最大的 $i$ ，其满足 $\frac{n}{i^2}\ge t$ ，即 $i\le \sqrt\frac{n}{t}$ ，直接向下取整即可。。

然后分块完需要求 $\varphi(n)$ 的前缀和，由于 $\sqrt n$ 过大，所以需要杜教筛。。




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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define succ(x) (1ll<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 50000005
#define nm 50005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const double eps=1e-8;
const int inf=998244353;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 


ll n;
const int inv2=inf+1>>1;
int m,ans,cnt;
int prime[NM],phi[NM],tot;
bool v[NM];
#include<unordered_map>
unordered_map<int,int>mp;

inline void reduce(int&x){x+=x>>31&inf;}

void init(){
    cnt=5e7;phi[1]=1;
    inc(i,2,cnt){
	if(!v[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
	inc(j,1,tot){
	    if(i*prime[j]>cnt)break;
	    v[i*prime[j]]++;
	    if(i%prime[j]==0){
		phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
		break;
	    }
	    phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
	}
    }
    inc(i,1,cnt)reduce(phi[i]+=phi[i-1]-inf);
}

int PH(int n){
    if(n<=cnt)return phi[n];
    if(mp.count(n))return mp[n];
    int ans=1ll*n*(n+1)/2%inf;
    for(int x=2,y;x<=n;x=y+1){
	y=n/(n/x);
	reduce(ans-=1ll*PH(n/x)*(y-x+1)%inf);
    }
    return mp[n]=ans;
}

int main(){
    init();
    int _=read();while(_--){
	n=read();
	ans=n%inf*((n+1)%inf)%inf*inv2%inf;
	m=sqrt(n);
	for(int x=2,y;x<=m;x=y+1){
	    y=sqrt(n/(n/x/x));
	    reduce(ans+=n/x/x%inf*(PH(y)-PH(x-1)+inf)%inf-inf);
	}
	m=pow(n,1/3.0);
	inc(i,2,m)
	    for(ll j=n/i/i/i;j;j/=i)
		reduce(ans+=j%inf*(phi[i]-phi[i-1]+inf)%inf-inf);
	printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}