hdu6652(DP+二分/枚举)

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题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6652

题意

现在卡里有一定存款，额数为 $[x,y]$ 内的正整数，每次可以猜一个数，如果存款数大于这个数，则需要支付 $b$ 的代价，否则将这个数的存款取出，并支付 $a$ 的代价，直到存款取完为止。制定一个策略，在最环的情况下使得需要支付的代价最少

$0\le x\le y\le2\times10^5$

题解

很容易想到代价和区间长度有关，那么设 $d[i]$ 为将 $[0,i]$ 取完的最小代价，则

然而很容易想到，当 $x=y$ 时，用上式求解是有问题的，因为此时至少要取一次钱，所以设 $d[i][1]$ 为没有取钱时的最小代价，$d[i][0]$ 为取过了的最小代价，有

然后这个东西显然是一个 $V$ 字型的函数，最低点在 $\max$ 取值的转接点处取得，所以可以直接二分，找到转接点。。复杂度 $O(nlogn)$

另外一种优化是发现决策点是单调的，所以可以从上一个决策点出发一直枚举到转接点，这和四边形不等式一样，枚举区间被决策点分割成几个部分，所以总的决策复杂度是 $O(n)$




代码

解法一(二分)

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 200005
#define nm 2097152
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=1e18;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 
 



int n,_x,_y;
ll d[NM][2],_a,_b;


int main(){
    int _=read();while(_--){
	_x=read();_y=read();_a=read();_b=read();
	n=_y-_x;
	d[0][1]=_a;d[0][0]=0;
	inc(i,1,n){
	    d[i][0]=d[i][1]=inf;
	    for(int x=1,y=i;x<=y;)
		if(d[mid-1][0]+_b>d[i-mid][0]+_a)
		    d[i][0]=min(d[i][0],d[mid-1][0]+_b),y=mid-1;
		else d[i][0]=min(d[i][0],d[i-mid][0]+_a),x=mid+1;
	    for(int x=0,y=i;x<=y;)
		if(d[mid-1][1]+_b>d[i-mid][0]+_a)
		    d[i][1]=min(d[i][1],d[mid-1][1]+_b),y=mid-1;
		else d[i][1]=min(d[i][1],d[i-mid][0]+_a),x=mid+1;
	}
	if(_x)printf("%lld\n",d[n][1]);else printf("%lld\n",d[n][0]);
    }
    return 0;
}

解法二(枚举)

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 200005
#define nm 2097152
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=1e18;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 
 



int n,_x,_y,p[NM][2];
ll d[NM][2],_a,_b;


int main(){
    int _=read();while(_--){
	_x=read();_y=read();_a=read();_b=read();
	n=_y-_x;
	d[0][1]=_a;d[0][0]=0;
	inc(i,1,n){
	    d[i][0]=d[i][1]=inf;
	    inc(j,p[i-1][0],i)
		if(d[j-1][0]+_b<d[i-j][0]+_a)
		    d[i][0]=d[i-j][0]+_a;
		else{
		    if(d[i][0]>d[j-1][0]+_b)
			d[i][0]=d[j-1][0]+_b,p[i][0]=j;
		    else p[i][0]=j-1;
		    break;
		}
	    inc(j,p[i-1][1],i)
		if(d[j-1][1]+_b<d[i-j][0]+_a)
		    d[i][1]=d[i-j][0]+_a;
		else{
		    if(d[i][1]>d[j-1][1]+_b)
			d[i][1]=d[j-1][1]+_b,p[i][1]=j;
		    else p[i][1]=j-1;
		    break;
		}
	}
	if(_x)printf("%lld\n",d[n][1]);else printf("%lld\n",d[n][0]);
    }
    return 0;
}