hdu6537(杜教筛+埃筛)

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题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6537

题意

定义 $f(n,k)$ 为选择 $k$ 个大于 $1$ 的数使 $\prod a_i=n$ 的方案数

给定 $n,k$ ，求 $\sum_{i=1}^{n}f(i,k)$

题解

由题意，有

这和杜教筛的推导非常相似，所以令

有

然后直接递归分块下去即可

当然还需要预处理前 $n$ 项，由于 $f(n,k)$ 不是积性函数不能用线性筛，然而 $f(n,k)$ 的求解需要枚举他的因子，所以可以用埃筛

复杂度可能比 $O(kn^{\frac{2}{3}})$ 要高一点。。




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#include<unordered_map>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mid (x+y>>1)
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 100005
#define nm 300005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+7;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}





unordered_map<int,ll>d[31];
unordered_map<int,bool>v[31];
int n,m,cnt;
ll f[31][NM];

void init(){
    cnt=1e5;
    inc(i,2,cnt)f[1][i]=1;
    inc(k,1,15){
	inc(i,2,cnt)if(f[k][i])
	    for(int j=i<<1;j<=cnt;j+=i)(f[k+1][j]+=f[k][i])%=inf;
    }
    inc(k,1,16)inc(i,1,cnt)f[k][i]+=f[k][i-1],f[k][i]%=inf;
}

ll F(int m,int n){
    if(m==1)return (n-1)%inf;
    if(n<(1<<m))return 0;
    if(n<=cnt)return f[m][n];
    if(v[m][n])return d[m][n];
    v[m][n]++;
    ll ans=0;
    for(int x=2,y;x<=n;x=y+1){
	y=n/(n/x);
	ans+=(y-x+1)%inf*F(m-1,n/x)%inf;ans%=inf;
    }
    return d[m][n]=ans;
}

int main(){
    init();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
	printf("%lld\n",F(m,n));
    }
    return 0;
}