PNCR-I(贪心+斜率优化)

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题目链接

https://codeforces.com/gym/101982/

题意

给定一段长度为 $n (n\le2e5)$ 的序列，其中有一些数还没填，你要把数列填完，使得逆序对数最大，输出逆序对数。每个数的范围为 $1\sim m(m\le100)$

题解

不造如何描述题目来源= =

这个题目还是比较经典的，值得做做。。

首先感觉填进去的序列应该是大致递减的，那么如果有增的情况会如何？

设 $i<j​$ 且 $a[i]<a[j]​$ ，那么如果交换 $a[i]​$ 、$a[j]​$ ，显然逆序对会增加，所以可以确定填进去的序列是非递增的

那么可以先预处理第 $i​$ 个数填 $j​$ 产生的价值，设为 $a[i][j]​$ ，并求前缀和

就可以做$DP​$ 了，设 $d[i][j]​$ 为 第 $i​$ 个空填 $j​$ 的最大逆序对数，那么

这个显然可以斜率优化，然后复杂度就可以降到 $O(nm)​$

注意这个式子对 $j=m$ 并不成立 TAT ，WA了半天




代码

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 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y)/2
#define NM 200005
#define nm 105
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=1e18;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}




int n,m,q[NM],qh,qt,tot,_x,a[NM][nm],c[NM][nm];
ll d[NM],g[NM],ans,b[NM],s;
double slope(int x,int y){return 1.0*(g[x]-b[x]-g[y]+b[y])/(y-x)+x+y;}

int main(){
    //freopen("data.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    while(n--){
	_x=read();
	if(_x){
	    ans+=b[_x];
	    dec(i,_x-1,1)b[i]++;
	    c[tot][_x+1]++;
	}else{
	    tot++;
	    inc(i,1,m)a[tot][i]=b[i];
	}
    }
    n=tot;
    dec(i,n,1){
	inc(j,1,m)c[i][j]+=c[i][j-1];
	inc(j,1,m)c[i][j]+=c[i+1][j],a[i][j]+=c[i][j];
    }
    inc(i,1,n)g[i]=a[i][m]+g[i-1];
    dec(j,m-1,1){
	q[qh=qt=1]=0;
	inc(i,1,n)b[i]=b[i-1]+a[i][j];
	inc(i,1,n){
	    while(qh<qt&&slope(q[qh],q[qh+1])<i)qh++;
	    d[i]=g[q[qh]]+1ll*(i-q[qh])*q[qh]+b[i]-b[q[qh]];
	    while(qh<qt&&slope(q[qt-1],q[qt])>slope(q[qt],i))qt--;
	    q[++qt]=i;
	}
	inc(i,1,n)g[i]=max(g[i],d[i]),s=max(s,g[i]);
//	inc(i,1,n)printf("%lld ",g[i]);putchar('\n');
    }
    printf("%lld\n",s+ans);
    return 0;
}