cf960G(DP->第一类斯特林数)

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题目链接

https://codeforces.com/problemset/problem/960/G

题意

设前缀最大点 $i$ 满足 $\forall j<i,a_i<a_i$ ，后缀最大点同理

求 $n$ 的排列中满足前缀最大点的个数为 $a$ ，后缀最大点的个数为 $b$ 的个数

题解

考虑前缀的情况，那么显然可以做个 $DP$ ，设 $d[i][j]$ 为前 $i$ 个数中有 $j$ 个最大点的方案数

显然 $d[i][j]={i\brack j}$ ，后缀同理

然后枚举全局最大点，因为这个最大点必然是最后一个前缀最大点，也是第一个后缀最大点，那么我们利用该点把序列分割成两部分，分别计数，即

这个公式在具体数学上有，形象理解就是把轮换分成两部分，枚举个数分别放进两边

然后这个斯特林数可以用分治在 $O(nlogn)$ 时间内求解出来，推导见这里




代码

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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mid (x+y>>1)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 140005
#define nm 400005
const double pi=acos(-1);
const ll inf=998244353;
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 

int n,A,B;
ll st[NM],a[NM],b[NM];
ll inv[NM],invp[NM],p[NM];

ll qpow(ll x,ll t){
    ll s=1;
    for(;t;t>>=1,x=sqr(x)%inf)if(t&1)s=s*x%inf;
    return s;
}

void reduce(ll&x){x+=x>>63&inf;}

ll invn,w[NM],W[NM];
int rev[NM],bit,lim;
void clear(ll*a,ll*b){if(a<b)memset(a,0,sizeof(ll)*(b-a));}
void init(int m){
    for(lim=1,bit=0;lim<m;lim<<=1)bit++;invn=qpow(lim,inf-2);
    inc(i,0,lim-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    ll t=qpow(3,(inf-1)/lim);W[0]=1;
    inc(i,1,lim)W[i]=W[i-1]*t%inf;
}
void fft(ll*a,int f=0){
    int n=lim;
    inc(i,1,n-1)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int k=1;k<n;k<<=1){
	int t=n/k>>1;
	for(int i=0,j=0;i<k;i++,j+=t)w[i]=W[f?n-j:j];
	for(int i=0;i<n;i+=k<<1)
	    for(int j=0;j<k;j++){
	    ll x=a[i+j],y=w[j]*a[i+j+k]%inf;
	    reduce(a[i+j]=x+y-inf);reduce(a[i+j+k]=x-y);
	}
    }
    if(f)inc(i,0,n-1)a[i]=a[i]*invn%inf;
}

void stling(int n){
    if(n==0){st[0]=1;return;}
    if(n==1){st[0]=0;st[1]=1;return;}
    int m=n>>1;
    stling(m);
    inc(i,0,m)a[i]=st[i]*p[i]%inf;
    b[m]=1;dec(i,m-1,0)b[i]=b[i+1]*m%inf*inv[m-i]%inf;
    init(n+1);
    clear(a+m+1,a+lim);clear(b+1+m,b+lim);
    fft(b);fft(a);
    inc(i,0,lim-1)b[i]=a[i]*b[i]%inf;
    fft(b,1);
    copy(b+m,b+lim,b);clear(b+lim-m,b+lim);
    inc(i,0,m)b[i]=b[i]*invp[i]%inf;
    fft(b);fft(st);
    inc(i,0,lim-1)st[i]=st[i]*b[i]%inf;;
    fft(st,1);
    if(n&1)dec(i,n,1)reduce(st[i]=(n-1)*st[i]%inf-inf+st[i-1]);
}


int main(){
    n=read();A=read();B=read();
    inv[1]=invp[1]=invp[0]=p[0]=p[1]=1;
    inc(i,2,n)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf,invp[i]=invp[i-1]*inv[i]%inf,p[i]=p[i-1]*i%inf;
    stling(n-1);
    //inc(i,0,n-1)printf("%lld ",st[i]);putchar('\n');
    ll ans=st[A+B-2]*p[A+B-2]%inf*invp[A-1]%inf*invp[B-1]%inf;
    return 0*printf("%lld\n",ans);
}