bzoj3622(DP+二项式反演)

|

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3622

题解

二项式反演不太熟悉。。所以做起来相当吃力。。

前面还是比较简单的，先排个序然后设 $d[i][j]$ 为到第 $i$ 个物品已知有 $j$ 对物品满足要求的方案数(仅考虑这 $j$ 对物品产生的贡献)，对第 $i$ 个物品，设比他小的物品数为 $cnt$ (这个可以双指针求)，那么有

题目保证各个数之间互不相同真是太良心了

然后令 $f(j)=d[n][j]*(n-j)!$ ，表示选中 $j$ 对满足要求的物品对时的方案数总和，那么怎么用这个来求得我们需要的答案呢？

我们发现如果需要的对数是 $1$ ，那么是个小学生容斥。。

如果推广一下，设恰好有 $k$ 对物品满足要求的方案数有 $g(k)$ ，可以发现

根据另一个方向的二项式反演，有

这个的证明在 这里 已经补上




代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
/**
 *　　　　　　  　　┏┓　　 　┏┓
 * 　　　　　  　　┏┛┗━━━━━━━┛┗━━━┓
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃ 　
 * 　　　　　  　　┃　　　━　　 　┃
 * 　　　　　  　　┃　＞　　　＜　┃
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃
 * 　　　　　  　　┃...　⌒　... 　┃
 * 　　　　　　  　┃              ┃
 * 　　　　　　  　┗━┓          ┏━┛
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃  　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┗━━━┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┣┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┏┛
 * 　　　　　　　　　┗┓┓┏━━━━━━━━┳┓┏┛
 * 　　　　　　　　　　┃┫┫       ┃┫┫
 * 　　　　　　　　　　┗┻┛       ┗┻┛
 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1ll<<x)
#define mid (x+y>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 2005
#define nm 200005
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+9;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}




int n,k,a[NM],b[NM],cnt;
ll d[NM][NM],p[NM],f[NM];
ll ans,inv[NM],invp[NM];

int main(){
    n=read();k=read();
    p[0]=1;inc(i,1,n)p[i]=p[i-1]*i%inf;
    invp[0]=invp[1]=inv[1]=1;
    inc(i,2,n)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf,invp[i]=invp[i-1]*inv[i]%inf;
    inc(i,1,n)a[i]=read();
    inc(i,1,n)b[i]=read();
    if((n+k)%2)return 0*printf("0\n");
    k=n+k>>1;
    sort(a+1,a+1+n);
    sort(b+1,b+1+n);
    cnt=0;d[0][0]=1;
    inc(i,1,n){
	while(cnt<n&&b[cnt+1]<=a[i])cnt++;
	d[i][0]=d[i-1][0];
	inc(j,1,i)
	    d[i][j]=(d[i-1][j-1]*(cnt-j+1)+d[i-1][j])%inf;
    }
    inc(i,0,n)f[i]=d[n][i]*p[n-i]%inf;
    inc(i,k,n)if((i-k)&1)
	ans-=f[i]*p[i]%inf*invp[k]%inf*invp[i-k]%inf,ans%=inf;
    else ans+=f[i]*p[i]%inf*invp[k]%inf*invp[i-k]%inf,ans%=inf;
/*
    inc(i,1,n)printf("%d ",a[i]);putchar('\n');
    inc(i,1,n)printf("%d ",b[i]);putchar('\n');
    printf("----\n");
    inc(i,0,n){inc(j,0,n)printf("%lld ",d[i][j]);putchar('\n');}
    printf("----\n");
    inc(i,0,n)printf("%lld ",f[i]);putchar('\n');
*/
    return 0*printf("%lld\n",(ans+inf)%inf);
}