bzoj1492(dp+CDQ分治)

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题目链接

题解

这个题以前发现要用平衡树维护就跑路了，看到能用 $CDQ$ 分治就过来学一下。。

设 $d[i]​$ 为卖出的最大获益，$g[i]​$ 为买进的最优结果，那么有
$g[i]<-max{d[j]}​$

$d[i]=max{g[j].a\times a[i]+g[j].b\times b[i] }$

主要解决 $d[i]​$ 的求解，发现这是一个点积表达式，所以最优决策点必定是在凸包上，那么只要维护凸包就行，然而坐标不具有单调性，所以不能用单调队列维护了。。

很容易想到可以用平衡树去维护，从两侧依次把点踢出凸包，然后在凸包上二分决策点即可(然而好麻烦啊)

另一种做法是 $CDQ$ 分治，还是同样的先左区间再归并再右区间就可以了。。然而需要在 $logn$ 个凸包上二分，所以复杂度是 $O(nlog^2n)$

其实可以先对斜率排序，然后划分区间使得左区间一定能转移到右区间，同时也可以保证斜率单调，这个时候就可以直接双指针找最优决策点，把复杂度降到 $O(nlogn)$




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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define NM 100005
#define nm 100005
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=1e9+9;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}




struct P{
    int id;
    double a,b,k,x,y,slope;
    bool operator<(const P&o)const{return slope>o.slope;}
}a[NM],tmp[NM],s[NM];
double d[NM];
int n,top;
double slope(P a,P b){if(fabs(a.x-b.x)<eps)return -inf;else return (a.y-b.y)/(a.x-b.x);}


void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
	d[l]=max(d[l-1],d[l]);
	a[l].y=d[l]/(a[l].a*a[l].k+a[l].b);a[l].x=a[l].y*a[l].k;
	return;
    }
    int mid=l+r>>1,cnt=1;
    for(int i=l,x=l,y=mid+1;i<=r;i++)if(a[i].id<=mid)tmp[x++]=a[i];else tmp[y++]=a[i];
    inc(i,l,r)a[i]=tmp[i];
    cdq(l,mid);
    top=0;
    inc(i,l,mid){
	while(top>1&&slope(s[top-1],s[top])<slope(s[top],a[i]))top--;
	s[++top]=a[i];
    }
    inc(i,mid+1,r){
	while(cnt<top&&slope(s[cnt],s[cnt+1])>a[i].slope)cnt++;
	d[a[i].id]=max(d[a[i].id],s[cnt].x*a[i].a+s[cnt].y*a[i].b);
    }
    cdq(mid+1,r);cnt=l;
    for(int x=l,y=mid+1;x<=mid||y<=r;)if(x<=mid&&(y>r||a[x].x<a[y].x))tmp[cnt++]=a[x++];else tmp[cnt++]=a[y++];
    inc(i,l,r)a[i]=tmp[i];
}

int main(){
    n=read();d[0]=read();
    inc(i,1,n){scanf("%lf%lf%lf",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].k);a[i].id=i;a[i].slope=-a[i].a/a[i].b;}
    sort(a+1,a+1+n);
    cdq(1,n);
    printf("%.3lf\n",d[n]);
    return 0;
}