bzoj1319(原根+BSGS)

|

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1319

题解

求解 $x^a\equiv b(mod\,p)$

由于 $p$ 为质数，令 $g$ 为 $p$ 的一个原根

那么 $a\,ind_gx\equiv ind_gb(mod\,\,\varphi(p))$

原根的求解可以依次枚举 $g$ ，检验 $g^d\equiv 1(mod\,p)$ ，其中 $d<\varphi(p)$

如果这个 $d$ 存在，那么 $d$ 的倍数也必然成立，那么只要取 $d=\frac{\varphi(p)}{p_i}$ 检验即可，其中 $p_i$ 为$\varphi(p)$ 的素因子

由于原根的大小一般在 $O(n^{0.25})$ 以内，所以求原根的复杂度为 $O(n^{0.25}logp\times loglogp)$

求出 $g$ 之后利用 $BSGS$ 求出 $ind_gb$ 进而求出 $ind_gx$ 即可。。

然后还有注意判 $b=0$ 的情况，不过题目数据好像并没有？




代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
/**
 *　　　　　　  　　┏┓　　 　┏┓
 * 　　　　　  　　┏┛┗━━━━━━━┛┗━━━┓
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃ 　
 * 　　　　　  　　┃　　　━　　 　┃
 * 　　　　　  　　┃　＞　　　＜　┃
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃
 * 　　　　　  　　┃...　⌒　... 　┃
 * 　　　　　　  　┃              ┃
 * 　　　　　　  　┗━┓          ┏━┛
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃  　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┗━━━┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┣┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┏┛
 * 　　　　　　　　　┗┓┓┏━━━━━━━━┳┓┏┛
 * 　　　　　　　　　　┃┫┫       ┃┫┫
 * 　　　　　　　　　　┗┻┛       ┗┻┛
 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 1000005
#define nm 1025
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 
 



ll inf,_x,_y;

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1ll)%inf:1ll;}
ll exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll t=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return t;
}



//保证n一定存在原根
int gen(int n){
    int m=n-1,cnt=m,tot=0,c[30];
    for(int i=2;i*i<m;i++)if(m%i==0){
	c[++tot]=cnt/i;
	while(m%i==0)m/=i;
    }
    if(m>2)c[++tot]=cnt/m;
    inc(i,1,n){
	bool f=true;
	inc(j,1,tot)if(qpow(i,c[j])==1){f=false;break;}
	if(f)return i;
    }
}

ll bsgs(ll a,ll b){
    map<int,int>v;int n=sqrt(inf)+1,ans=inf;
    ll inv=qpow(a,inf-2),t=qpow(a,n);
    for(int i=0;i<n;i++,b=b*inv%inf)if(!v.count(b))v[b]=i;
    for(int i=0,k=1;i<n;i++,k=k*t%inf)if(v.count(k))ans=min(ans,v[k]+i*n);
    return ans;
}


//inf为质数
void solve(int a,int b){
    if(_y==0){printf("1\n0\n");return;}
    int g=gen(inf),indb=bsgs(g,b);
    ll x,y;ll t=exgcd(a,inf-1,x,y);x%=(inf-1)/t;if(x<0)x+=(inf-1)/t;
    if(indb%t){printf("0\n");return;}
    x*=indb/t;x%=(inf-1)/t;
    int tot=0,c[100005];//答案个数
    if(b==1)c[++tot]=0;
    for(;x<inf-1;x+=(inf-1)/t)c[++tot]=qpow(g,x);
    sort(c+1,c+1+tot);
    printf("%d\n",tot);inc(i,1,tot)printf("%d ",c[i]);putchar('\n');
}

int main(){
    inf=read();_x=read();_y=read();
    solve(_x,_y);
    return 0;
}