arc076F(hall定理+线段树)

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题目链接

https://arc076.contest.atcoder.jp/tasks/arc076_d

题意

给定 $m$ 个座位，有 $n$ 个人，他们只能坐在 $a_i$ 的左边或者 $b_i$ 的右边，问需要在 $m$ 个座位的两侧添加多少个座位使得每个人都有座位？

$n\le2\times10^5$

题解

霍尔定理有个推论是这样表述的：

设二分图的两个点集为 $A、B$，其最大匹配数为 $\displaystyle|X|-\max_{S\subset A}{|S|-|N(S)|}$ ，其中 $N(S)$ 为 $S$ 的相邻点集

事实上，$\displaystyle\max_{S\subset A}{|S|-|N(S)|$ 为该二分图的最大失配数，也是本题所求

然而 $S$ 其实比较难枚举，而 $N(S)$ 就非常有特征，为区间前后缀的并，那么枚举$N(S)$ 来确定 $S$ 的大小就可以了。。

由于 $N(S)$ 有 $n^2$ 个，所以可以考虑枚举左端点用线段树维护右端点

另外，$N(S)$ 也可以为全集，此时答案为 $n-m$，如果用线段树维护会把前后缀交叉的部分重复计算，十分坑爹。。




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 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 200005
#define nm 200005
#define pi 3.1415926535897931
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int inf=1e9;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 


int n,m,_x,cnt,ans;
struct P{int x,y;}a[NM];
struct node{
    int x,y,s,tag;
    node*l,*r;
    node(int x,int y,node*l=0,node*r=0):x(x),y(y),l(l),r(r),s(0),tag(0){if(l)upd();else s=x-m-1;}
    void upd(){s=max(l->s,r->s);}
    void push(){
	if(tag){
	    l->s+=tag;l->tag+=tag;
	    r->s+=tag;r->tag+=tag;
	    tag=0;
	}
    }
    void mod(){
	if(y<=_x){s++;tag++;return;}
	push();if(_x>mid)r->mod();l->mod();upd();
    }
}*root;
node*build(int x,int y){return x==y?new node(x,y):new node(x,y,build(x,mid),build(mid+1,y));}


int main(){
    n=read();m=read();
    ans=max(0,n-m);
    inc(i,1,n)a[i].x=read(),a[i].y=read();
    sort(a+1,a+1+n,[](P a,P b){return a.x<b.x;});
    root=build(1,m+1);
    cnt=1;
    inc(i,0,m){
	while(cnt<=n&&a[cnt].x==i){
	    _x=a[cnt++].y;
	    root->mod();
	}
	ans=max(ans,root->s-i);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}