DIVCNT2(分块套分块)

|

题目链接

https://www.spoj.com/problems/DIVCNT2/en/

题解

这个 $\sigma_0(n^2)$ 有点奇怪，必须做一下转化。。

令 $n=\prod p_i^{a_i}$ ，则

把 $\prod a_i$ 看作枚举 $n$ 的因子，有

其中 $w(d)$ 为 $d$ 的素因子个数，因此又可以将 $2^{w(d)}$ 看成枚举 $d$ 的无平方因子个数

因此

直接分块套分块即可。。复杂度 $O(n^{\frac{3}{4}})$

加上预处理理论上能将复杂度降到 $O(n^{\frac{2}{3}})$ ，然而这里的预处理需要比较大的空间，所以在将预处理的规模尽可能调大的情况下复杂度还是会略高一些。。




代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
/**
 *　　　　　　  　　┏┓　　 　┏┓
 * 　　　　　  　　┏┛┗━━━━━━━┛┗━━━┓
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃ 　
 * 　　　　　  　　┃　　　━　　 　┃
 * 　　　　　  　　┃　＞　　　＜　┃
 * 　　　　　  　　┃　　　　　　　┃
 * 　　　　　  　　┃...　⌒　... 　┃
 * 　　　　　　  　┃              ┃
 * 　　　　　　  　┗━┓          ┏━┛
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃   神兽保佑,代码无bug
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃  　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┃
 * 　　　　　　　　　┃          ┃　　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃          ┗━━━┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┣┓
 * 　　　　　　　　　┃              ┏┛
 * 　　　　　　　　　┗┓┓┏━━━━━━━━┳┓┏┛
 * 　　　　　　　　　　┃┫┫       ┃┫┫
 * 　　　　　　　　　　┗┻┛       ┗┻┛
 */ 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1<<x)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 50000005
#define nm 200005
#define pi 3.1415926535897931
using namespace std;
const ll inf=1e9+7;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 
 



ll n,ans;
ll cas[10005];
int mu[NM],prime[NM/10],tot,cnt,p[NM],f[NM];
ll sig[NM];
bool v[NM];
void init(){
    if(cas[1]>=1e7)cnt=5e7;else cnt=1e7;
    sig[1]=mu[1]=1;
    inc(i,2,cnt){
	if(!v[i])prime[++tot]=i,sig[i]=2,mu[i]=-1,p[i]=2;
	inc(j,1,tot){
	    if(i*prime[j]>cnt)break;
	    v[i*prime[j]]++;
	    if(i%prime[j]==0){
		mu[i*prime[j]]=0;
		p[i*prime[j]]=p[i]+1;
		sig[i*prime[j]]=sig[i]/p[i]*(p[i]+1);
		break;
	    }
	    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
	    sig[i*prime[j]]=sig[i]<<1;
	    p[i*prime[j]]=2;
	}
    }
    inc(i,1,cnt)sig[i]+=sig[i-1],f[i]=f[i-1]+sqr(mu[i]);
}

inline ll Mu(ll n){
    if(n<=cnt)return f[n];
    ll ans=0;int m=sqrt(n);
    for(ll i=1;i<=m;i++)ans+=mu[i]*(n/sqr(i));
    return ans;
}
inline ll Sig(ll n){
    if(n<=cnt)return sig[n];
    ll ans=0;
    for(ll x=1,y,t;x<=n;x=y+1){
	t=n/x;
	y=n/t;
	ans+=t*(y-x+1);
    }
    return ans;
}

inline void solve(){
    ans=0;
    for(ll x=1,y,last=0,t;x<=n;x=y+1){
	y=n/(n/x);t=Mu(y);
	ans+=Sig(n/x)*(t-last);
	last=t;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    int _=read();inc(i,1,_)cas[i]=read();
    init();
    inc(i,1,_)n=cas[i],solve();
    return 0;
}